文章目录摘要一、引言二、测试数据集与参数配置2.1 测试数据集构造2.2 模型参数配置三、动态 DEA-CCR 模型核心原理3.1 投入导向模型3.2 产出导向模型3.3 核心性质四、投入导向模型手算推导4.1 DMU1 效率求解4.2 DMU2 效率求解4.3 DMU3 效率求解五、产出导向模型手算推导5.1 DMU1 效率求解5.2 DMU2 效率求解5.3 DMU3 效率求解5.4 倒数关系校验六、DEA Performance 软件计算结果6.1 投入导向计算结果6.2 产出导向计算结果七、一致性校验与结果分析7.1 数值一致性校验7.2 结果经济含义分析八、总结摘要本文针对面板数据下的动态 DEA-CCR 模型构造了包含 3 个决策单元、2 期观测的标准化测试数据集通过数学推导完成投入导向与产出导向两种模式下的手算求解同时基于 DEA Performance 软件实现相同参数下的自动化计算并对两组结果进行全维度一致性校验。本文同时拆解了动态 DEA 中资本存量跨期折旧结转的核心约束逻辑可为动态 DEA 模型的学习、开发与结果验证提供参考依据。关键词数据包络分析动态 DEACCR 模型手算验证一致性校验一、引言在效率评价领域传统静态 DEA 模型仅能处理单期截面数据无法刻画资本存量、技术积累等跨期结转要素的持续影响。动态 DEADynamic DEA通过引入跨期关联变量如资本存量将多期面板数据纳入统一的效率评价框架能够更真实地反映生产单元的长期运行效率。对于科研人员而言选择一款可靠的数据包络分析软件是开展效率评价研究的基础尤其是论文用 DEA 软件推荐中计算结果的准确性是核心考量因素。由于动态 DEA 引入了跨期约束模型构造比静态 DEA 更为复杂计算结果的正确性验证也成为开发者与使用者关注的核心问题。本文通过构造可控的测试数据集以手算推导的方式求解动态 DEA-CCR 模型的理论最优解并与 DEA Performance 软件的计算结果进行对比校验验证模型实现的准确性同时帮助读者理解动态 DEA 的内在逻辑。二、测试数据集与参数配置2.1 测试数据集构造为清晰验证模型逻辑本文构造包含 3 个决策单元DMU、2 期时间序列的测试数据集包含 2 项投入指标、2 项产出指标其中投入 1 为资本存量指标作为跨期结转变量。数据排列遵循「按 DMU 分组每期一行」的规则即先排列 DMU1 的两期数据再依次排列 DMU2、DMU3。具体测试数据如下表所示DMU 名称期数投入 1资本存量投入 2可变投入产出 1产出 2DMU1第 1 期105108DMU1第 2 期95129DMU2第 1 期126119DMU2第 2 期1161310DMU3第 1 期2010108DMU3第 2 期1810129数据设计说明DMU1为构造的生产前沿单元资本存量严格满足 10% 折旧率下的结转关系10 × 0.9 9 10 \times 0.9 910×0.99DMU2为轻度低效单元投入产出规模略高于 DMU1 但产出提升幅度不足DMU3为显著低效单元产出与 DMU1 持平但投入规模翻倍用于验证效率值的比例关系。2.2 模型参数配置本次验证采用统一的参数配置分别在投入导向与产出导向两种模式下求解时间期数2 期资本存量所在列第 1 列投入资本折旧率10%0.1基础模型CCR不变规模报酬 CRS计算导向分别验证投入导向、产出导向图 1 DEA Performance 动态 DEA 模型参数配置界面三、动态 DEA-CCR 模型核心原理动态 DEA-CCR 模型的核心特征是引入资本存量的跨期折旧结转约束同时单个 DMU 的所有时期共享同一个效率变量实现跨期整体效率的统一评价。3.1 投入导向模型目标为最小化效率值θ \thetaθθ ≤ 1 \theta \le 1θ≤1值越接近 1 表示效率越高核心约束包括可变投入约束非资本列∑ j 1 n λ j , t x j , t , i s t , i − θ ⋅ x d , t , i , ∀ t , ∀ i ≠ k \sum_{j1}^{n} \lambda_{j,t} x_{j,t,i} s_{t,i}^- \theta \cdot x_{d,t,i}, \quad \forall t, \forall i \neq kj1∑n​λj,t​xj,t,i​st,i−​θ⋅xd,t,i​,∀t,∀ik产出约束∑ j 1 n λ j , t y j , t , r − s t , r y d , t , r , ∀ t , ∀ r \sum_{j1}^{n} \lambda_{j,t} y_{j,t,r} - s_{t,r}^ y_{d,t,r}, \quad \forall t, \forall rj1∑n​λj,t​yj,t,r​−st,r​yd,t,r​,∀t,∀r资本存量跨期结转约束第 1 期资本约束∑ j 1 n λ j , 0 x j , 0 , k s 0 , k − θ ⋅ x d , 0 , k \sum_{j1}^{n} \lambda_{j,0} x_{j,0,k} s_{0,k}^- \theta \cdot x_{d,0,k}j1∑n​λj,0​xj,0,k​s0,k−​θ⋅xd,0,k​第t 1 t1t1期资本结转约束∑ j 1 n λ j , t − 1 x j , t − 1 , k ⋅ ( 1 − δ ) s t , k − ∑ j 1 n λ j , t x j , t , k \sum_{j1}^{n} \lambda_{j,t-1} x_{j,t-1,k} \cdot (1-\delta) s_{t,k}^- \sum_{j1}^{n} \lambda_{j,t} x_{j,t,k}j1∑n​λj,t−1​xj,t−1,k​⋅(1−δ)st,k−​j1∑n​λj,t​xj,t,k​其中λ j , t \lambda_{j,t}λj,t​为第t tt期第j jj个 DMU 的权重δ \deltaδ为资本折旧率k kk为资本列索引s − s^-s−、s s^s分别为投入、产出松弛变量。3.2 产出导向模型目标为最大化效率值ϕ \phiϕϕ ≥ 1 \phi \ge 1ϕ≥1值越接近 1 表示效率越高可变投入与产出约束形式对应调整资本跨期结转约束的结构与投入导向保持一致。3.3 核心性质在不变规模报酬CRS且无冗余松弛的前提下投入导向效率θ \thetaθ与产出导向效率ϕ \phiϕ满足倒数关系θ × ϕ 1 \theta \times \phi 1θ×ϕ1该性质可作为结果合理性的快速校验依据。四、投入导向模型手算推导4.1 DMU1 效率求解取参考组合为 DMU1 自身即两期权重λ 1 , 1 1 \lambda_{1,1}1λ1,1​1λ 1 , 2 1 \lambda_{1,2}1λ1,2​1其余 DMU 权重为 0。可变投入约束左右两侧均等于自身投入值松弛为 0等式成立产出约束左右两侧均等于自身产出值松弛为 0等式成立第 1 期资本约束左侧10 × 1 10 10 \times 1 1010×110右侧θ × 10 \theta \times 10θ×10当θ 1 \theta1θ1时等式成立第 2 期资本结转约束左侧10 × 1 × 0.9 9 10 \times 1 \times 0.9 910×1×0.99右侧9 × 1 9 9 \times 1 99×19等式严格成立资本松弛为 0。因此θ 1 \theta1θ1是可行解且为投入导向的理论下界故 DMU1 最优效率为1.0000。4.2 DMU2 效率求解最优参考组合为 DMU1设两期权重均为λ \lambdaλ。由产出约束的短板项第 1 期产出 2可得8 × λ 9 8 \times \lambda 98×λ9解得λ 1.125 \lambda 1.125λ1.125。代入可变投入约束验证左侧5 × 1.125 5.625 5 \times 1.125 5.6255×1.1255.625右侧θ × 6 \theta \times 6θ×6解得θ 5.625 / 6 0.9375 \theta 5.625 / 6 0.9375θ5.625/60.9375。资本约束验证第 1 期左侧10 × 1.125 11.25 10 \times 1.125 11.2510×1.12511.25右侧0.9375 × 12 11.25 0.9375 \times 12 11.250.9375×1211.25等式成立第 2 期结转左侧10 × 1.125 × 0.9 10.125 10 \times 1.125 \times 0.9 10.12510×1.125×0.910.125右侧9 × 1.125 10.125 9 \times 1.125 10.1259×1.12510.125等式成立。所有约束均满足故 DMU2 最优效率为0.9375。4.3 DMU3 效率求解DMU3 产出水平与 DMU1 完全一致取参考组合为 DMU1两期权重λ 1 \lambda1λ1即可覆盖全部产出。代入可变投入约束左侧5 × 1 5 5 \times 1 55×15右侧θ × 10 \theta \times 10θ×10解得θ 5 / 10 0.5 \theta 5 / 10 0.5θ5/100.5。资本约束验证第 1 期左侧10 × 1 10 10 \times 1 1010×110右侧0.5 × 20 10 0.5 \times 20 100.5×2010等式成立第 2 期结转左侧10 × 1 × 0.9 9 10 \times 1 \times 0.9 910×1×0.99右侧9 × 1 9 9 \times 1 99×19与0.5 × 18 9 0.5 \times 18 90.5×189匹配等式成立。故 DMU3 最优效率为0.5000。五、产出导向模型手算推导5.1 DMU1 效率求解同理取自身为参考组合ϕ 1 \phi1ϕ1时所有约束严格成立故效率为1.0000。5.2 DMU2 效率求解最优参考组合为 DMU1由投入约束短板投入 2可得5 × λ 6 5 \times \lambda 65×λ6解得λ 1.2 \lambda 1.2λ1.2。代入产出约束第 1 期产出 2左侧8 × 1.2 9.6 8 \times 1.2 9.68×1.29.6右侧ϕ × 9 \phi \times 9ϕ×9解得ϕ 9.6 / 9 ≈ 1.0667 \phi 9.6 / 9 \approx 1.0667ϕ9.6/9≈1.0667。资本结转约束验证成立故 DMU2 最优效率为1.0667。5.3 DMU3 效率求解DMU3 投入规模为 DMU1 的 2 倍取参考权重λ 2 \lambda2λ2刚好耗尽全部投入。代入产出约束10 × 2 ϕ × 10 10 \times 2 \phi \times 1010×2ϕ×10解得ϕ 2 \phi2ϕ2。资本结转约束验证第 1 期10 × 2 20 10 \times 2 2010×220第 2 期结转10 × 2 × 0.9 18 10 \times 2 \times 0.9 1810×2×0.918与 DMU3 资本完全匹配等式成立。故 DMU3 最优效率为2.0000。5.4 倒数关系校验DMU11.0 × 1.0 1 1.0 \times 1.0 11.0×1.01符合DMU20.9375 × 1.0667 ≈ 1 0.9375 \times 1.0667 \approx 10.9375×1.0667≈1符合DMU30.5 × 2.0 1 0.5 \times 2.0 10.5×2.01符合。手算结果满足 CRS 模型的倒数性质推导逻辑自洽。六、DEA Performance 软件计算结果使用 DEA Performance 软件导入相同测试数据配置对应参数后分别得到投入导向与产出导向的计算结果。6.1 投入导向计算结果图 2 动态 DEA-CCR 投入导向计算结果界面软件输出的效率结果整理如下DMU第 1 期效率第 2 期效率跨期平均效率DMU11.00001.00001.0000DMU20.93750.93750.9375DMU30.50000.50000.50006.2 产出导向计算结果图 3 动态 DEA-CCR 产出导向计算结果界面软件输出的效率结果整理如下DMU第 1 期效率第 2 期效率跨期平均效率DMU11.00001.00001.0000DMU21.06671.06671.0667DMU32.00002.00002.0000七、一致性校验与结果分析7.1 数值一致性校验将手算推导结果与 DEA Performance 软件计算结果进行逐项对比所有 DMU 在两种导向下的效率值完全一致误差为 0验证了软件中动态 DEA-CCR 模型实现的正确性。同时同一 DMU 两期效率值完全相同符合模型「跨期共享单一效率变量」的核心设定 —— 动态 DEA 评价的是 DMU 的整体跨期效率而非单期独立效率这也是动态模型与逐期静态 DEA 的核心区别。7.2 结果经济含义分析DMU1处于生产前沿面两期均实现技术有效资本存量增长与折旧率完全匹配投入产出配置达到最优。DMU2存在轻度效率损失投入导向下效率为 0.9375意味着在保持当前产出不变的前提下所有投入可统一缩减 6.25%产出导向下效率为 1.0667意味着在现有投入水平下产出存在约 6.67% 的提升空间。DMU3效率水平显著偏低投入存在严重冗余仅需 50% 的投入规模即可实现当前产出存在较大的优化空间。八、总结本文通过构造标准化测试数据集完成了动态 DEA-CCR 模型的手算推导并与 DEA Performance 软件的计算结果进行了全维度一致性校验两组结果完全吻合验证了软件模型实现的准确性与可靠性。动态 DEA 的核心难点在于跨期资本结转约束的构造本文通过分步拆解的方式清晰呈现了约束的逻辑与验证方法可为动态 DEA 的学习、开发与结果校验提供参考。作为一款功能完善的免费的数据包络分析软件DEA Performance 支持静态与动态多类 DEA 模型求解可满足科研与实务中的各类效率评价需求。后续将持续分享 DEA 结果异常排查方法、非期望产出 DEA 怎么处理、DEA 投影分析怎么做等实操内容逐步完善 DEA 全模型体系的正确性校验与实操教程。DEA Performance 链接https://pan.baidu.com/s/1ziQkmN9LmLDebUGBIolIyw?pwd5802