1 整数进制在计算机科学中数据的底层存储与运算均基于二进制系统。无论是简单的数值、字符还是复杂的多媒体信息如图像、音频和视频在计算机内部的底层存储层面最终都会被编码为二进制Binary形式进行表示与操作。然而二进制表示法通常非常长。对于人类开发者而言直接阅读和书写大量连续的 0 与 1 既不直观也极易出错。为了更方便地观察和操作底层的二进制数据计算机科学中引入了八进制Octal和十六进制Hexadecimal。这两种进制作为二进制的紧凑表示形式通常被称为二进制的 “简写”能够显著提高二进制数据的可读性。1.1 常见进制系统理解不同进制系统的核心在于掌握其基数Base与进位规则。基数决定了该进制中每一位允许使用的数字符号数量。二进制Base-2使用数字 0 和 1 表示数值。在二进制中每一位的基数为 2当某一位的值达到 2 时便向高位进位即“逢二进一”。这是计算机内部存储和处理数据的基本方式。八进制Base-8使用数字 0 到 7 表示数值。在八进制中每一位的基数为 8当某一位的值达到 8 时便向高位进位即“逢八进一”。这是一种早期用于简化二进制表示的进位制在现代开发中主要用于文件权限设置等特定场景。十进制Base-10使用数字 0 到 9 表示数值。在十进制中每一位的基数为 10当某一位的值达到 10 时便向高位进位即“逢十进一”。这是人类日常生活中最广泛使用的计数系统也是代码中整数默认的输入与输出形式。十六进制Base-16使用数字 0 到 9 以及字母 A 到 F或 a 到 f表示数值其中 A - F 分别对应十进制的 10 - 15。在十六进制中每一位的基数为 16当某一位的值达到 16 时便向高位进位即“逢十六进一”。这是目前最常用的人类可读二进制简写形式广泛应用于内存地址、颜色编码和调试信息中。下表展示了十进制数值 0 到 17 在这四种进制下的对应写法二进制八进制十进制十六进制000011111022211333100444101555110666111777100010881001119910101210A10111311B11001412C11011513D11101614E11111715F1000020161010001211711相比二进制八进制与十六进制使用更少的位数表达相同的数值从而显著降低了人工阅读与书写的负担。1.2 进制的前缀表示在 Python 程序中整数常量可以通过特定的前缀Prefix来表示其所属的进制。前缀不仅帮助开发者清晰地表达意图也是 Python 解释器正确解析字面量数值的依据。具体规则如下二进制Binary必须使用0b或0B开头后跟由 0 和 1 组成的数字序列。注意前缀第一位是数字 0第二位是英文小写或大写字母 b。例如0b1010 表示十进制的 10。八进制Octal必须使用0o或0O开头后跟 0 到 7 的数字。注意前缀第一位是数字 0第二位是英文小写或大写字母 o。例如0o12 表示十进制的 10。十进制Decimal直接书写数字不带任何前缀。例如10 表示十进制的 10。十六进制Hexadecimal必须使用0x或0X开头后跟 0 - 9 和 A - F或 a - f。例如0xA 表示十进制的 10。以下示例程序演示了上述四种前缀在 Python 代码中的具体写法# 15_integer_literal.py # 十进制无前缀 dec 10 # 二进制0b 前缀 binary_num 0b1010 # 八进制0o 前缀 octal_num 0o12 # 十六进制0x 前缀 hex_num 0xA # print() 函数默认以十进制形式输出整数值 print(dec) # 输出10 print(binary_num) # 输出10 print(octal_num) # 输出10 print(hex_num) # 输出10程序运行结果如下所示print() 函数默认以十进制形式输出整数值因此无论使用哪种进制书写整数常量输出结果均显示为对应的十进制数值。1.3 内置进制转换函数在实际开发中你可能需要将一个整数转换为其他进制的字符串表示形式以便进行调试、日志记录或底层数据分析。Python 提供了三个内置函数Built-in Functions来直接完成这一任务你无需实现具体的转换算法直接调用即可bin(整数)返回该整数的二进制字符串结果以 0b 开头。oct(整数)返回该整数的八进制字符串结果以 0o 开头。hex(整数)返回该整数的十六进制字符串结果以 0x 开头。以下代码展示了上述函数的用法及其输出特征# 16_base_conversion.py dec 10 print(二进制表示, bin(dec)) # 输出0b1010 print(八进制表示, oct(dec)) # 输出0o12 print(十六进制表示, hex(dec)) # 输出0xa程序运行结果如下所示这三个函数均返回字符串类型且各自保留了对应进制的前缀标识。2 进制转换掌握不同进制之间的人工转换方法有助于你加深对进制系统内在规律的理解并为后续学习位运算奠定基础。本节将系统讲解整数在二进制、八进制、十进制与十六进制之间的双向转换方法。2.1 转换方法的两种通用逻辑在进入具体示例之前先理解两种最核心的转换方法。这两种方法适用于十进制与任意其他进制之间的相互转换。按权展开法其他进制 → 十进制核心思路任何一个多位数其每一位都有一个对应的 “权值”该权值由进制基数与位置共同决定。将每一位数字与该位的权值相乘再累加求和即可得到该数在十进制下的数值。为了更好地理解先看一个熟悉的十进制例子数字123实际上表示1 × 10² 2 × 10¹ 3 × 10⁰。即从最低位开始每一位乘以 10 的递增次方后相加。对于任意进制只需将上式中的基数 10 替换为目标进制基数即可二进制 → 十进制基数替换为 2。八进制 → 十进制基数替换为 8。十六进制 → 十进制基数替换为 16。通用规则从最低位开始将每一位数字乘以对应基数的递增次方从 0 次方开始然后求和。除基取余法十进制 → 其他进制核心思路将一个十进制数反复除以目标进制基数每次记录余数。当商为 0 时停止最后将所有余数从最后一次除法所得余数到第一次所得余数逆序排列即为目标进制数。通用规则将十进制数除以目标基数记录商和余数。用商继续除以目标基数再次记录商和余数。重复上述步骤直到商为 0。将所有余数逆序排列。对于不同目标进制仅需替换步骤中的基数即可十进制 → 二进制基数替换为 2。十进制 → 八进制基数替换为 8。十进制 → 十六进制基数替换为 16。 提示十六进制中的字母替换使用除基取余法转换为十六进制时若余数大于 9须使用字母 A – F 或 a – f分别对应 10 – 15表示该余数。2.2 方法应用示例以下分别展示按权展开法与除基取余法在三种进制中的具体应用。按权展开法应用示例 1二进制 → 十进制将二进制数 1011 转换为十进制数。步骤 第 0 位1 × 2⁰ 1 第 1 位1 × 2¹ 2 第 2 位0 × 2² 0 第 3 位1 × 2³ 8 求和1 2 0 8 11 结果1011₂ 11₁₀示例 2八进制 → 十进制将八进制数 101 转换为十进制数。步骤 第 0 位1 × 8⁰ 1 第 1 位0 × 8¹ 0 第 2 位1 × 8² 64 求和1 0 64 65 结果101₈ 65₁₀示例 3十六进制 → 十进制将十六进制数 34A 转换为十进制数。步骤 第 0 位A 1010 × 16⁰ 10 第 1 位4 × 16¹ 64 第 2 位3 × 16² 768 求和10 64 768 842 结果34A₁₆ 842₁₀除基取余法应用示例 1十进制 → 二进制将十进制数 56 转换为二进制数。步骤 56 ÷ 2 28 余 0 28 ÷ 2 14 余 0 14 ÷ 2 7 余 0 7 ÷ 2 3 余 1 3 ÷ 2 1 余 1 1 ÷ 2 0 余 1 逆序读取余数111000 结果56₁₀ 111000₂示例 2十进制 → 八进制将十进制数 156 转换为八进制数。步骤 156 ÷ 8 19 余 4 19 ÷ 8 2 余 3 2 ÷ 8 0 余 2 逆序读取余数234 结果156₁₀ 234₈示例 3十进制 → 十六进制将十进制数 356 转换为十六进制数。步骤 356 ÷ 16 22 余 4 22 ÷ 16 1 余 6 1 ÷ 16 0 余 1 逆序读取余数164 结果356₁₀ 164₁₆2.3 二进制与八进制、十六进制之间的转换由于8 2³且16 2⁴二进制与八进制、十六进制之间存在更快速的转换方式 —— 直接对二进制位进行分组而非通过十进制作为中间桥梁。二进制 ↔ 八进制二进制 → 八进制转换方法取三合一法从二进制数的最低位起每三位分为一组最高位不足三位时在左侧补零将每组三位二进制数转换为一位八进制数字0 – 7然后从左到右组合。示例将二进制数 1101011 转换为八进制数。步骤 从最低位每三位分组1 | 101 | 011 最高位补零001 | 101 | 011 逐组转换 001 → 1 101 → 5 011 → 3 组合153 结果1101011₂ 153₈八进制 → 二进制转换方法取一分三法将八进制数的每一位数字分别转换为对应的三位二进制数然后按原顺序组合。最终结果最左侧的多余零可以省略。示例将八进制数 153 转换为二进制数。步骤 逐位转换 1 → 001 5 → 101 3 → 011 组合001101011 省略前导零1101011 结果153₈ 1101011₂二进制 ↔ 十六进制二进制 → 十六进制转换方法取四合一法从二进制数的最低位起每四位分为一组最高位不足四位时在左侧补零将每组四位二进制数转换为一位十六进制数字0 – F然后从左到右组合。示例将二进制数 1001011 转换为十六进制数。步骤 从最低位每四位分组100 | 1011 最高位补零0100 | 1011 逐组转换 0100 → 4 1011 → B 组合4B 结果1001011₂ 4B₁₆十六进制 → 二进制转换方法取一分四法将十六进制数的每一位数字含 A – F分别转换为对应的四位二进制数然后按原顺序组合。最终结果最左侧的多余零可以省略。示例将十六进制数 23B 转换为二进制数。步骤 逐位转换 2 → 0010 3 → 0011 B → 1011 组合001000111011 省略前导零1000111011 结果23B₁₆ 1000111011₂八进制 ↔ 十六进制八进制与十六进制之间没有直接的转换方法。若需要在两者之间进行转换可借助二进制作为中间桥梁。八进制 → 十六进制转换路径先将八进制数转换为二进制取一分三法再将得到的二进制数转换为十六进制取四合一法。示例将八进制数 153 转换为十六进制数。步骤 1. 先将 153₈ 转为二进制取一分三法 1 → 001 5 → 101 3 → 011 组合001101011 省略前导零1101011 2. 再将 1101011₂ 转为十六进制取四合一法 从最低位每四位分组110 | 1011 最高位补零0110 | 1011 逐组转换 0110 → 6 1011 → B 组合6B 结果153₈ 6B₁₆十六进制 → 八进制转换路径先将十六进制数转换为二进制取一分四法再将得到的二进制数转换为八进制取三合一法。示例将十六进制数 6B 转换为八进制数。步骤 1. 先将 6B₁₆ 转为二进制取一分四法 6 → 0110 B → 1011 组合01101011 省略前导零1101011 2. 再将 1101011₂ 转为八进制取三合一法 从最低位每三位分组1 | 101 | 011 最高位补零001 | 101 | 011 逐组转换 001 → 1 101 → 5 011 → 3 组合153 结果6B₁₆ 153₈ 扩展选择最适合的转换路径从上述示例可以看出八进制与十六进制之间的转换本质上是前文已学方法的组合运用。在实际计算中你也可以先将原数转为十进制再转到目标进制。两种路径的结果一致你可以根据个人习惯选择最适合的计算方式。3 小数与进制转换第 2 章所讲解的进制转换方法均针对整数。当数值包含小数部分时转换规则需要做相应扩展。本节简要介绍小数在常见进制之间的转换方法。小数的进制转换在原理上与整数一致均基于 “按权展开” 与 “基数乘除” 的核心思想区别在于小数部分使用负指数作为位权。3.1 其他进制小数转换为十进制小数转换方法采用按权展开法。与整数部分类似但小数部分的位权从小数点后第一位开始分别为基数的 -1、-2、-3 …… 次方。将每一位数字与对应的位权相乘然后累加求和。示例将二进制小数 0.101 转换为十进制小数。步骤 第 -1 位小数点后第 1 位1 × 2⁻¹ 0.5 第 -2 位小数点后第 2 位0 × 2⁻² 0 第 -3 位小数点后第 3 位1 × 2⁻³ 0.125 求和0.5 0 0.125 0.625 结果0.101₂ 0.625₁₀该规则适用于任意进制的小数转换为十进制。当被转换的小数来自八进制时将公式中的基数 2 替换为 8来自十六进制时替换为 16。3.2 十进制小数转换为其他进制小数转换方法采用乘基取整、顺序排列法。将十进制小数部分乘以目标基数记录乘积的整数部分。用上一步乘积的小数部分继续乘以目标基数再次记录整数部分。重复上述步骤直到小数部分为 0或达到所需的精度。将所有记录的整数按从上到下的顺序排列。示例将十进制小数 0.8125 转换为二进制小数。步骤 0.8125 × 2 1.625 → 整数部分为 1剩余小数部分为 0.625 0.625 × 2 1.25 → 整数部分为 1剩余小数部分为 0.25 0.25 × 2 0.5 → 整数部分为 0剩余小数部分为 0.5 0.5 × 2 1.0 → 整数部分为 1剩余小数部分为 0结束 顺序读取整数部分1101 结果0.8125₁₀ 0.1101₂该规则的核心逻辑保持不变。应用于其他进制时仅需将乘以的基数 2 替换为目标进制基数如转换为八进制时乘以 8转换为十六进制时乘以 16并按该进制的进位规则记录整数部分。3.3 混合数的处理对于同时包含整数部分和小数部分的数如 12.625应将整数部分和小数部分拆开分别进行转换最后将两部分结果合并小数点位置保持不变。至于整数部分与小数部分各自采用何种转换方法取决于具体的转换方向其他进制 → 十进制整数部分与小数部分均使用 “按权展开法”。十进制 → 其他进制整数部分使用 “除基取余、逆序排列法”小数部分使用 “乘基取整、顺序排列法”。示例将十进制数 12.625 转换为二进制数。整数部分转换除基取余法 12 ÷ 2 6 余 0 6 ÷ 2 3 余 0 3 ÷ 2 1 余 1 1 ÷ 2 0 余 1 逆序读取1100 小数部分转换乘基取整法 0.625 × 2 1.25 → 整数部分为 1剩余小数部分为 0.25 0.25 × 2 0.5 → 整数部分为 0剩余小数部分为 0.5 0.5 × 2 1.0 → 整数部分为 1剩余小数部分为 0结束 顺序读取101 合并结果12.625₁₀ 1100.101₂该示例展示了混合数的完整转换流程。实际应用中你只需根据转换方向选择对应的方法即可。3.4 精度问题需要特别注意的是并非所有十进制小数都能被其他进制精确表示。某些十进制小数在转换为二进制或其他进制时会产生无限循环小数。例如十进制小数 0.1 转换为二进制时会得到一个无限循环的二进制小数0.1₁₀ 0.00011001100110011...₂由于计算机存储空间的限制无限循环小数无法被完整存储只能截断至有限位数进行近似表示。这便是浮点数运算中精度误差的根本来源。 扩展精度问题与编程实践十进制小数转换为二进制时产生的无限循环现象是浮点数精度问题的根源。例如在 Python 中执行 0.1 0.2得到的结果并非精确的 0.3而是一个近似值 0.30000000000000004。这是由于 0.1 和 0.2 在计算机内部均为近似存储所致。有关浮点数及其精度问题的深入讨论将在后续章节中展开。此处仅作为进制转换知识的延伸了解即可。4 进制转换工具手动进行进制转换是理解进制系统内在规律的重要途径。然而当数值较大或需要频繁转换时手动计算容易出错且效率较低。此时可以借助工具快速完成转换并对人工计算结果进行验证。本节介绍两种常用的进制转换工具Windows 系统自带的计算器与在线进制转换工具。4.1 Windows 计算器程序员模式Windows 系统自带的计算器提供了 “程序员模式”Programmer Mode支持二进制、八进制、十进制与十六进制之间的快速转换。操作方法如下打开计算器按下Win键在搜索栏中输入 “计算器”然后点击打开程序。切换为程序员模式点击计算器左上角的≡菜单图标选择 “程序员” 模式。输入数据并查看结果在对应进制的输入框中输入数值其他进制区域将自动显示转换后的结果。该工具支持整数在四种常见进制之间的双向转换并提供了数据宽度控制功能按钮显示为 BYTE、WORD、DWORD、QWORD分别对应 8 位、16 位、32 位和 64 位可用于在调试或阅读底层代码时快速查看数值的进制表示。4.2 在线进制转换工具Windows 计算器的程序员模式虽然便捷但也存在两个主要限制不支持小数浮点数的转换且仅支持四种常见进制。如果你需要处理第 3 章中提到的小数进制转换或进行更大范围的进制转换如 32 进制、36 进制在线进制转换工具是更优的选择。其主要优势包括支持范围广支持 2 至 36 进制之间的任意转换。支持小数能够处理浮点数可用于验证第 3 章 “乘基取整法” 的计算结果。跨平台无需安装且跨平台有浏览器即可使用对 macOS 和 Linux 用户同样友好。例如OSCHINA 工具箱https://tool.oschina.net/hexconvert是一个广受开发者欢迎的在线工具支持 2 至 36 进制之间的任意转换也支持浮点数。 提示工具的辅助定位进制转换工具主要用于快速获取结果或验证手算答案。建议你在学习阶段先尝试手动计算再使用工具进行核对。这样才能真正掌握进制转换的内在规律而非仅仅依赖工具输出结果。